Kansvariabelen (54/62)

Lessen
Dr.Stat
Kansvariabelen

$X$ : het aantal vrouwen in het forum
$Y$ : het aantal personen jonger dan 40 jaar

$P (vrouw) = .35$ , $P (man) = .65$
$P (< 40 jaar) = .30$ , $P (\geq 40 jaar) = .70$

$P (X = x_{i})$	.08	.24	.33	.24	.10	.02	.00
$\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}$	0	1	2	3	4	5	6	$P (Y = y_{i})$
0								.12
1			.099					.30
2								.32
3								.19
4								.06
5								.01
6								.00

Indien gegeven is dat de stochasten $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn, komen alle cellen van de simultane kansverdeling dus overeen met het produkt van de bijbehorende marginale kansen. In formule: $P (X = x_{i} \land Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) \times P (Y = y_{j})$ voor elke $i$ en $j$ .

Meestal is onafhankelijkheid niet gegeven, maar moet juist bewezen worden of twee stochasten al dan niet onafhankelijk zijn. Om onafhankelijkheid aan te tonen moet met behulp van bovenstaande formule voor elke cel gecontroleerd worden of deze gelijk is aan het produkt van de marginale kansen.

Als dus voor elke $i$ en $j$ geldt dat $P (X = x_{i} \land Y = y_{j}) = P (X = x_{i}) \times P (Y = y_{j})$ , zijn $X$ en $Y$ onafhankelijk.

Stel dat $P (X = 2 \land Y = 1) = .099$ , kan dan geconcludeerd worden dat $X$ en $Y$ onafhankelijk zijn?

Nee. $P (X = 2) = .33$ , $P (Y = 1) = .30$ en $P (X = 2 \land Y = 1) = .099$ , dus voor $X = 2$ en $Y = 1$ geldt inderdaad dat $P (X = 2 \land Y = 1) = P (X = 2) \times P (Y = 1)$ . De conclusie klopt echter niet: pas als voor alle cellen geldt dat deze gelijk zijn aan het produkt van de marginale kansen zijn de stochasten onafhankelijk.

Dat klopt. $P (X = 2) = .33$ , $P (Y = 1) = .30$ en $P (X = 2 \land Y = 1) = .099$ , dus hoewel voor $X = 2$ en $Y = 1$ geldt dat $P (X = 2 \land Y = 1) = P (X = 2) \times P (Y = 1)$ kan nog niet geconcludeerd worden dat $X$ en $Y$ onafhankelijk zijnt: pas als voor alle cellen geldt dat deze gelijk zijn aan het produkt van de marginale kansen zijn de stochasten onafhankelijk.

Open tabellen

→ Volgende

Dr.Stat