Dr.Stat

In het laatste voorbeeld was er sprake van een erg kleine steekproef (vijf matrozen). Bij een grotere steekproef hoeven we geen gebruik meer te maken van de binomiale verdeling. In de meeste tabellen met een binomiale verdeling zijn de waarden voor grote steekproeven zelfs niet opgenomen. Bij een grote steekproef kunnen we de steekproefproportie weer benaderen met de standaardnormale verdeling. Je zult nu stap voor stap zien hoe we $Z$ in dit geval berekenen.

Het transformeren naar $Z$ doe je door van de schatter uit de steekproef de verwachtingswaarde af te trekken en vervolgens te delen door de standaardafwijking van die schatter. $Z=\frac{\text{schatter}-E(\text{schatter})}{{\sigma }_{\text{schatter}}}$ De schatter, namelijk $B/n$, kan alvast worden ingevuld in de $Z$-formule: $Z=\frac{\frac{B}{n}-E(\frac{B}{n})}{{\sigma }_{B/n}}$ $B/n$ is schatter van de populatieparameter $p$ en $p$ is in dit geval de proportie rokers in de populatie: $E\left(\frac{B}{n}\right)=\frac{E(B)}{n}=\frac{np}{n}=p$ Zo krijgen we dus: $Z=\frac{B/n-p}{{\sigma }_{B/n}}$

Maar hoe groot is ${\sigma }_{B/n}$? De populatie is alternatief verdeeld en de standaardafwijking in een alternatieve verdeling gelijk is aan $\sqrt{pq}$, waarbij $p$ de proportie rokers in de populatie is en $q$ $(=1-p)$ de proportie niet-rokers. De variantie van de schatter is dan $\text{Var}\left(\frac{B}{n}\right)=\frac{\text{Var}(B)}{n^2}=\frac{npq}{n^2}=\frac{pq}{n}$ De standaardafwijking is dan ook $\sqrt{\frac{pq}{n}}$. Ook dit kunnen we invullen, en daarmee hebben we alle componenten om $Z$ te berekenen: $Z=\frac{B/n-p}{\sqrt{\frac{pq}{n}}}$