Dr.Stat

De centrale limietstelling van Lyapunov luidt als volgt:

Als $X_1,X_2,\dots ,X_n$ identiek verdeelde, onderling onafhankelijke stochasten zijn, is de som $S_n$ normaal verdeeld als $n\to \mathrm{\infty }$.

Wat opvalt is dat wel geëist wordt dat de stochasten identiek verdeeld zijn, maar dat verder geen eisen worden gesteld aan de verdeling. In de praktijk wordt de eis $n\to \mathrm{\infty }$ niet zo streng toegepast, maar wordt meestal de eis $n>30$ gebruikt. Dus als je meer dan 30 onafhankelijke waarnemingen doet, kun je er van uitgaan dat de verdeling van de waarnemingen bij benadering normaal is, net als de oorspronkelijke verdeling.

Van de verdeling van $S_n$ kunnen de verwachtingswaarde en de variantie worden afgeleid: $\begin{array}{ccc}E(S_n)& =& E(X_1+X_2+\dots +X_n)\\ & =& E(X_1)+E(X_2)+\dots +E(X_n)\\ & =& \mu +\mu +\dots +\mu \\ & =& n\mu ,\\ \text{Var}(S_n)& =& \text{Var}(X_1+X_2+\dots +X_n)\\ & =& \text{Var}(X_1)+\text{Var}(X_2)+\dots +\text{Var}(X_n)\\ & =& {\sigma }^2+{\sigma }^2+\dots +{\sigma }^2\\ & =& n{\sigma }^2,\end{array}$ waarin de afleiding van de variantie er op berust dat de stochasten onderling onafhankelijk zijn.

$S_n$ is dus normaal verdeeld voor $n>30$, met $E(S_n)=n\mu$ en $\text{Var}(S_n)=n{\sigma }^2$. De standaardafwijking van $S_n$ is dus $\sqrt{n{\sigma }^2}=\sqrt{n}\sigma$. De gestandaardiseerde stochast $Z$ heeft dan dus de waarde: $Z=\frac{S_n-n\mu }{\sqrt{n}\sigma }.$ Bij de gevonden $z$-waarde kan in de tabel van de standaardnormale verdeling de bijbehorende kans worden opgezocht.