Dr.Stat

In principe kunnen we Z-scores als een gewone transformatie weergeven, dus in de vorm X'=aX+b, waarbij we X' vaak als Z aanduiden (de Z van Z-score).

Dat hebben we bijvoorbeeld net gezien bij de transformatie van enkele IQ-scores volgens de formule X'=1 15 X+−100 15 .

Maar meestal bereken je Z-scores door van de score(s) die je wilt transformeren het gemiddelde af te trekken, en daarna door de standaardafwijking te delen. Dan rijst de vraag of die twee manieren wel dezelfde uitkomst geven. We zullen dat eens in formule bekijken…

Gaan we uit van de berekening van Z-scores door eerst het gemiddelde van elke score af te trekken, en dit dan door de standaardafwijking te delen, dan kunnen we dit weergeven met de volgende formule:

Z=X−X¯S

Daarbij kunnen we de variabele X en de constante X¯ (het gemiddelde) in aparte breuken zetten door beide door de constante S (de standaardafwijking) te delen, en deze twee nieuwe breuken van elkaar af te trekken…

Z=X−X¯S=1 SX−1 SX¯

En bij volledige herschrijving blijkt inderdaad dat Z=aX+b wanneer a=1 S en b=−X¯S. Daarbij moet je X¯ en S niet verwarren met variabelen: zowel het gemiddelde (X¯) als de standaardafwijking (S) hebben een constante waarde binnen de groep, en (X¯) kun je dus vervangen door 100, en S door 15. En de transformatieformule voor het IQ heeft dus de vorm Z=1 15 X−100 15 .

Z=X−X¯S=1 SX−1 SX¯=1 SX−X¯S