Dr.Stat

De reden waarom multiplicatieve transformaties wél het teken van de correlatie, maar niet de sterkte van het lineaire verband kunnen beïnvloeden, kan ook rekenkundig worden uitgelegd. We zullen eerst aantonen dat de sterkte van een verband, uitgedrukt in een correlatie, invariant is voor transformaties door vermenigvuldiging van de $X$- en/of $Y$-scores met een constante. Je weet waarschijnlijk al dat vermenigvuldiging van alle scores met een constante leidt tot een standaarddeviatie die is vermenigvuldigd met de absolute waarde van die constante. Dat geldt zowel voor $S_x$ als $S_y$: $\begin{array}{ccc}{X}^{\text{'}}& =& a\times X\to S_{x^{\text{'}}}=\mid a\mid \times S_x\\ Y^{\text{'}}& =& b\times Y\to S_{y^{\text{'}}}=\mid b\mid \times S_y\end{array}.$ Eveneens weet je waarschijnlijk al dat het vermenigvuldigen van een van de scores met een constante, leidt tot een gemiddelde dat ook is vermenigvuldigd met die constante.

$S_{\mathrm{xy}}=\frac{{\sum }_i(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})}{n}$

1. $X_i^{\text{'}}=a\times X_i\to {\overline{X}}^{\text{'}}=a\times \overline{X}$
   $Y_i^{\text{'}}=b\times Y_i\to {\overline{Y}}^{\text{'}}=b\times \overline{Y}$
2. $\begin{array}{ccc}{X}_i^{\text{'}}-{\overline{X}}^{\text{'}}& =& (a\times X_i)-(a\times {\overline{X}}^{\text{'}})\\ & =& a\times (X_i-\overline{X})\\ Y_i^{\text{'}}-{\overline{Y}}^{\text{'}}& =& (b\times Y_i)-(b\times {\overline{Y}}^{\text{'}})\\ & =& b\times (Y_i-\overline{Y})\end{array}$

De deviatie-scores worden ook met de constante vermenigvuldigd: de constante kan immers buiten haakjes worden gehaald. De getransformeerde c ovariantie is dan de oorspronkelijke covariantie vermenigvuldigd met de constante(s).

$\begin{array}{ccc}{S}_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}& =& a\times b\times {\sum }_i(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})\\ & =& a\times b\times S_{\mathrm{xy}}\end{array}$

Indien deze gegevens in de formule voor de correlatie worden ingevuld, blijkt dat de correlatie geheel invariant is voor multiplicatieve transformaties als beide constantes hetzelfde teken hebben: $r_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=\frac{a\times b\times S_{\mathrm{xy}}}{\mid a\mid \times \mid b\mid \times S_x{S}_y}.$ Gebruiken we bijvoorbeeld $a=4$ en $b=2$, dan wordt de correlatie $r_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=\frac{4\times 2\times S_{\mathrm{xy}}}{\mid 4\mid \times \mid 2\mid \times S_x{S}_y}=\frac{8\times S_{\mathrm{xy}}}{8\times S_x{S}_y}=r_{\mathrm{xy}}.$ Gebruiken we $a=-2$ en $b=-4$, dan wordt de correlatie $r_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=\frac{(-2)\times (-4)\times S_{\mathrm{xy}}}{\mid -2\mid \times \mid -4\mid \times S_x{S}_y}=\frac{8\times S_{\mathrm{xy}}}{8\times S_x{S}_y}=r_{\mathrm{xy}}.$

Indien de constantes echter niet gelijk zijn qua teken, dan zal het teken van de correlatie veranderen. Gebruiken we bijvoorbeeld $a=-2$ en $b=1$, dan wordt de correlatie $r_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=\frac{(-2)\times 1\times S_{\mathrm{xy}}}{\mid -2\mid \times \mid 1\mid \times S_x{S}_y}=\frac{-2\times S_{\mathrm{xy}}}{2\times S_x{S}_y}=-r_{\mathrm{xy}}.$ Gebruiken we $a=1$ en $b=-2$, dan wordt de correlatie $r_{x^{\text{'}}{y}^{\text{'}}}=\frac{1\times (-2)\times S_{\mathrm{xy}}}{\mid 1\mid \times \mid -2\mid \times S_x{S}_y}=\frac{-2\times S_{\mathrm{xy}}}{2\times S_x{S}_y}=-r_{xy}.$

We kunnen tenslotte nog opmerken dat een transformatie met $c=1$ (zoals in de voorbeelden met $a=1$ en $b=1$) gelijk staat aan geen transformatie.